Notação Científica

A notação científica é uma forma concisa de representar números, em especial muito grandes (100000000000) ou muito pequenos (0,00000000001). É baseado no uso de potências de 10 (os casos acima, em notação científica, ficariam: 1 · 1011 e 1 · 10-11, respectivamente).

Observe os números abaixo:

700 000

40 000 000

800 000 000 000 000

2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

0,0008

0,00000001

0,0000000000000009

0,0000000000000000000000000000000000000000000000006

A representação desses números na forma convencional torna-se difícil. O principal fator de dificuldade é a quantidade de zeros extremamente alta para a velocidade normal de leitura dos números.

Em áreas como a Física e a Química esses valores são frequentes. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 metros, e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 gramas.

Para valores como esses, a notação científica é mais compacta. Outra vantagem da notação científica é que ela sempre pode representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos

Descrição

Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo:

m · 10e

O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza.

Notação científica padronizada

A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. Mas a notação científica padronizada inclui uma restrição: a mantissa deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10.

Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo o príncípio de equlíbrio.

Vejamos o exemplo abaixo:

253 756,42

A notação científica padronizada exige que a mantissa esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da vírgula). Para o exponente, vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa".

Nesse caso, o expoente é 5.

Observe a transformação passo a passo:

253 756,42

25 375,642 · 101 = 2 537,5642 · 102 = 253,75642 · 103 = 25,375642 · 104 =2,5375642 · 105

Um outro exemplo, com valor menor que 1:

0,0000000475

0,000000475 · 10-1 = 0,00000475 · 10-2 = 0,0000475 · 10-3 = 0,000475 · 10-4 =

= 0,00475 · 10-5 = 0,0475 · 10-6 = 0,475 · 10-7 = 4,75 · 10-8

Operações

Adição e subtração

Para somar dois números em notação científica, é necessário que o expoente seja o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. A transformação segue o mesmo princípio de equilíbrio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, sendo convertido posteriormente.

Exemplos:

4,2 · 107 + 3,5 · 105 = 4,2 · 107 + 0,035 · 107 = 4,235 · 107

6,32 · 109 - 6,25 · 109 = 0,07 · 109 (não padronizado) = 7 · 107 (padronizado)

Multiplicação

Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:

Exemplos:

(6,5 · 108) . (3,2 · 105) = (6,5 · 3,2) · 10(8+5) = 20,8 · 1013 (não padronizado) =

= 2,08 · 1014 (convertido para a notação padronizada)

(4 · 106) · (1,6 · 10-15) = (4 · 1,6) · 106+(-15) = 6,4 · 10-9

(já padronizado sem necessidade de conversão)

Divisão

Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:

Exemplos:

(8 · 1017) / (2 · 109) = (8/2) . 1017-9 = 4 · 108 (padronizado)

(2,4 · 10-7) / (6,2 · 10-11) = (2,4 /6,2) · 10-7-(-11) ≈ 0,3871 · 104 (não padronizado)

= 3,871 · 103 (padronizado).

Exponenciação

A mantissa é elevada ao expoente externo e o expoente da base dez é multiplicado pelo expoente externo.

Exemplo:

(2 · 106)4 = (24) · 106.4 = 16 · 1024 = 1,6 · 1025 (padronizado)

Radiciação

Antes de fazer a radiciação é preciso transformar um expoente para um valor múltiplo do índice. Após feito isso, o resultado é a radiciação da mantissa multiplicada por dez elevado à razão entre o expoente e o índice do radical.